Question

已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)，
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性（不要求寫證明過程）；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（4）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f（4^x-b）+f（-2^x+1）有零點，求實數(shù)b的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由題設(shè)，需，
∴a=1，
∴，
經(jīng)驗證，f（x）為奇函數(shù)，
∴a=1；
（2）該函數(shù)在定義域R上是減函數(shù)；
（3）由，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴，
由（2）知f（x）是減函數(shù)，
∴原問題轉(zhuǎn)化為對任意t∈R恒成立，
∴即為所求；
（4）原函數(shù)零點的問題等價于方程，
由（3），有解，
，
∴當b∈[-1，+∞)時函數(shù)存在零點。