Question

【題目】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值集合是（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x﹣1）為偶函數(shù)，

∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1），

即f（x）=﹣f（x+2），

則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期是4，

∵f（x﹣1）為偶函數(shù)，∴f（x﹣1）關(guān)于x=0對(duì)稱，

則f（x）關(guān)于x=﹣1對(duì)稱，同時(shí)也關(guān)于x=1對(duì)稱，

若x∈[﹣1，0]，則﹣x∈[0，1]，

此時(shí)f（﹣x）= =﹣f（x），則f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]，

若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]，

則f（x）=﹣f（x+2）=﹣ ，x∈[﹣2，﹣1]，

若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]，

則f（x）=﹣f（x﹣2）= ，x∈[1，2]，

作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

由數(shù)g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b，

由圖象知當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，由 =x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0，

由判別式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣ ，此時(shí)f（x）=x+b有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，則f（x）=f（x﹣4）= ，

由 =x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0，

由判別式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣ ，此時(shí)f（x）=x+b有兩個(gè)交點(diǎn)，

則要使此時(shí)f（x）=x+b有一個(gè)交點(diǎn)，則在[0，4]內(nèi)，b滿足﹣＜b＜﹣，

即實(shí)數(shù)b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣，

即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+，

令k=n﹣1，

則4k+＜b＜4k+，

故選：D