Question

1．設二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）中的a、b均為整數(shù)，且f（0）、f（1）均為奇數(shù)，則（　�。�

• A． 方程f（x）=0有兩個不相等的整數(shù)根
• B． 方程f（x）=0沒有整數(shù)根
• C． 方程f（x）=0至少有一個整數(shù)根
• D． 方程f（x）=0至多有一個整數(shù)根

Answer 1

分析 先通過條件得到a，b同奇偶，然后分別討論若a，b同為偶數(shù)與同為奇數(shù)兩種情形，然后根據(jù)數(shù)值的奇偶進行判定方程有無整數(shù)根．

解答 證明：f（0）=c為奇數(shù)，
f（1）=a+b+c為奇數(shù)，則a+b為偶數(shù)，
所以a，b同奇偶，
假設整數(shù)根t，所以f（t）=0 即at²+bt+c=0，
若a，b同為偶數(shù)，則at²+bt為偶數(shù)，
所以at²+bt+c為奇數(shù)可得at²+bt+c≠0
與at²+bt+c=0矛盾；
若a，b同為奇數(shù)，若t為偶數(shù)則at²+bt為偶數(shù)，
若t為奇數(shù)則at²+bt為偶數(shù)，
所以 at²+bt+c為奇數(shù) 可得at²+bt+c≠0與at²+bt+c=0矛盾．
綜上所述方程f（x）=0無整數(shù)根；
故選：B

點評 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．