Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²-lnx+6．
（1）若函數(shù)f（x）的極值點為x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x∈（0，+∞）時，若關于x的不等式f（x）+lnx＜x-ln（x+1）+6恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導，根據(jù)f′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=0，求出a的值，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，
（2）原不等式轉(zhuǎn)化為ax²＜x-ln（x+1），構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-ln（x+1），利用導數(shù)求出g（x）最小值，繼而轉(zhuǎn)化為ax²＜0，在x∈（（0，+∞）恒成立，求出a的取值范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=ax²-lnx+6，x＞0，
∴f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，
∵f（x）的極值點為x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=0，解得a=1，
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
∴k=f′（1）=2-1=1，f（1）=1-0+6=7，
∴函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y-7=x-1，即x-y+6=0，
（2）當x∈（0，+∞）時，若關于x的不等式f（x）+lnx＜x-ln（x+1）+6恒成立，
∵ax²-lnx+6+lnx＜x-ln（x+1）+6在x∈（0，+∞）恒成立，
∴ax²＜x-ln（x+1），
設g（x）=x-ln（x+1），
∴g′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$＞0恒成立，
∴g（x）在x∈（0，+∞）為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ax²＜0，在x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤0，
實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義和參數(shù)的取值范圍，關鍵是轉(zhuǎn)化，構(gòu)造，求最值，屬于中檔題．