Question

13．求下列函數(shù)的值域：
（1）f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$（x∈R）；
（2）y=2x-$\sqrt{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）由x²+1≥1，便可得出$\frac{1}{{x}^{2}+1}$的范圍，即求出了函數(shù)f（x）的值域；
（2）函數(shù)中帶根號(hào)，可考慮換元：令$\sqrt{x-1}=t$，t≥0，可求出x，帶入原函數(shù)得到y(tǒng)=2t²-t+2，該函數(shù)便是二次函數(shù)，可配方，便可看出該函數(shù)在[0，+∞）上的值域．

解答 解：（1）x²+1≥1；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+1}≤1$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋海?，1]；
（2）令$\sqrt{x-1}=t，t≥0$，則：x=t²+1；
∴y=2t²-t+2=$2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}≥\frac{15}{8}$，t≥0；
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{15}{8}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域的方法，換元法求函數(shù)的值域，二次函數(shù)的值域求法：配方．