Question

一條拋物線的準線方程為y＝，焦點在射線y＝(x≥0)上，且經過坐標原點．

(1)求拋物線的方程；

(2)設拋物線與x軸的另一個交點為B，P、Q為拋物線上兩個動點，當點P在拋物線上運動時，如果使BP⊥PQ，求點Q的范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)設拋物線的焦點坐標為(x0，)(x0≥0)，由拋物線經過原點，且準線方程為y＝， 　　得||＝，解得x0＝1． 　　∴焦點在F(1，)，對稱軸為x＝1，焦參數p＝，頂點為(1，1)． 　　注意到拋物線過原點，則其開口向下，故所求拋物線方程為(x－1)2＝－(y－1)， 　　即：y＝－x2＋2x． 　　(2)設P(α，－α2＋2α)，Q(β，－β2＋2β)(α≠2，α≠β)， 　　則：kBP＝＝－α，kPQ＝＝2－(α－β)． 　　∵BP⊥PQ，∴kBP·kPQ＝－1． 　　即：－α[2－(α＋β)]＝－1， 　　亦即：α2＋(β－2)α＋1＝0． 　　由Δ＝(β－2)2－4≥0，得β≤0或β≥4． 　　故點Q存在范圍是拋物線y＝－x2＋2x上x∈(－∞，0)∪[4，＋∞)．