Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m；
（3）在（2）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用半徑大于0，可得m的取值范圍；
（2）直線方程與圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值；
（3）寫出以MN為直徑的圓的方程，代入條件可得結(jié)論．

解答：解：（1）（x-1）²+（y-2）²=5-m，∴方程表示圓時(shí)，m＜5；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，得x₁x₂=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y=0，∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0①，
由

x=4-2y x2+y2-2x-4y+m=0

，得5y²-16y+m+8=0，
∴y1+y2=

16

5

，y1y2=

8+m

5

．
代入①得m=

8

5

．
（3）以MN為直徑的圓的方程為（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
即x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y=0，
∴所求圓的方程為x2+y2-

8

5

x-

16

5

y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．