Question

（2013•武漢模擬）過橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點F₂的直線交橢圓于A，B兩點，F₁為其左焦點，已知△AF₁B的周長為8，橢圓的離心率為

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個交點P，Q，且

OP

⊥

OQ

？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意列關于a，c的方程組，求解方程組的a，c的值，由b²=a²-c²求得b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）假設滿足條件的圓存在，設出圓的方程，分直線PQ的斜率存在和不存在討論，當直線PQ的斜率存在時，設其方程為y=kx+t，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系求出P，Q兩點橫縱坐標的積，由

OP

⊥

OQ

得其數量積等于0，代入坐標的乘積得到k和t的關系，再由圓心到直線的距離等于半徑求出圓的半徑，然后驗證直線斜率不存在時成立．從而得到滿足條件的圓存在．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得

4a=8 c a = 3 3

，解得：

a=2 c= 3

，
∴b²=a²-c²=4-3=1．
故橢圓Γ的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）假設滿足條件的圓存在，其方程為x²+y²=r²（0＜r＜1）．
當直線PQ的斜率存在時，設其方程為y=kx+t，
由

y=kx+t x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
x1+x2=-

8kt

1+4k2

，x1x2=

4t2-4

1+4k2

，①
∵

OP

⊥

OQ

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
∴x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
即（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0．     ②
將①代入②，得

(1+k2)(4t2-4)

1+4k2

-

8k2t2

1+4k2

+t2=0，
即t²=

4

5

（1+k²）．
∵直線PQ與圓x²+y²=r²相切，
∴r=

|t|

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

2 5

5

∈（0，1），
∴存在圓x²+y²=

4

5

滿足條件．
當直線PQ的斜率不存在時，易得x12=x22=

4

5

，
代入橢圓Γ的方程，得y12=y22=

4

5

，滿足

OP

⊥

OQ

．
綜上所述，存在圓心在原點的圓x²+y²=

4

5

滿足條件．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，體現了分類討論的數學思想方法，涉及直線和圓錐曲線的關系問題，常采用把直線和圓錐曲線聯立，利用根與系數的關系求解，考查了計算能力，屬高考試卷中的壓軸題．