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(2013•武漢模擬)過橢圓Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)右焦點F2的直線交橢圓于A,B兩點,F1為其左焦點,已知△AF1B的周長為8,橢圓的離心率為
3
2

(Ⅰ)求橢圓Γ的方程;
(Ⅱ)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個交點P,Q,且
OP
OQ
?若存在,求出該圓的方程;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)由題意列關于a,c的方程組,求解方程組的a,c的值,由b2=a2-c2求得b的值,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)假設滿足條件的圓存在,設出圓的方程,分直線PQ的斜率存在和不存在討論,當直線PQ的斜率存在時,設其方程為y=kx+t,和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程,利用根與系數關系求出P,Q兩點橫縱坐標的積,由
OP
OQ
得其數量積等于0,代入坐標的乘積得到k和t的關系,再由圓心到直線的距離等于半徑求出圓的半徑,然后驗證直線斜率不存在時成立.從而得到滿足條件的圓存在.
解答:解:(Ⅰ)由已知,得
4a=8
c
a
=
3
3
,解得:
a=2
c=
3
,
∴b2=a2-c2=4-3=1.
故橢圓Γ的方程為
x2
4
+y2=1
;
(Ⅱ)假設滿足條件的圓存在,其方程為x2+y2=r2(0<r<1).
當直線PQ的斜率存在時,設其方程為y=kx+t,
y=kx+t
x2
4
+y2=1
,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0.
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則
x1+x2=-
8kt
1+4k2
,x1x2=
4t2-4
1+4k2
,①
OP
OQ

∴x1x2+y1y2=0,
又y1=kx1+t,y2=kx2+t,
∴x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,
即(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0.     ②
將①代入②,得
(1+k2)(4t2-4)
1+4k2
-
8k2t2
1+4k2
+t2=0
,
即t2=
4
5
(1+k2).
∵直線PQ與圓x2+y2=r2相切,
∴r=
|t|
1+k2
=
4
5
(1+k2)
1+k2
=
2
5
5
∈(0,1),
∴存在圓x2+y2=
4
5
滿足條件.
當直線PQ的斜率不存在時,易得x12=x22=
4
5
,
代入橢圓Γ的方程,得y12=y22=
4
5
,滿足
OP
OQ

綜上所述,存在圓心在原點的圓x2+y2=
4
5
滿足條件.
點評:本題考查了橢圓的標準方程,考查了直線和圓錐曲線的關系,體現了分類討論的數學思想方法,涉及直線和圓錐曲線的關系問題,常采用把直線和圓錐曲線聯立,利用根與系數的關系求解,考查了計算能力,屬高考試卷中的壓軸題.
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|AF|
|BF|
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