橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為．點P(1，)、A、B在橢圓E上，且＋＝m(m∈R)．

(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率；

(2)求證：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時，原點O是△PAB的重心．

答案：
解析：

　　解：(1)由＝及解得a2＝4，b2＝3，

　　橢圓方程為；2分

　　設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得

　　(x1＋x2－2，y1＋y2－3)＝m(1，)，即

　　又，，兩式相減得

　　；6分

　　(2)設(shè)AB的方程為y＝，代入橢圓方程得：x2－tx＋t2－3＝0，

　　△＝3(4－t2)，|AB|＝，

　　點P到直線AB的距離為d＝，

　　S△PAB＝＝(－2＜t＜2)．10分

　　令f(t)＝3(2－t)3(2＋t)，則f’(t)＝－12(2－t)2(t＋1)，由f’(t)＝0得t＝－1或2(舍)，

　　當(dāng)－2＜t＜－1時，f’(t)＞0，當(dāng)－1＜t＜2時f’(t)＜0，所以當(dāng)t＝－1時，f(t)有最大值81，

　　即△PAB的面積的最大值是；

　　根據(jù)韋達定理得x1＋x2＝t＝－1，而x1＋x2＝2＋m，所以2＋m＝－1，得m＝－3，

　　于是x1＋x2＋1＝3＋m＝0，y1＋y2＋＝3＋＋＝0，

　　因此△PAB的重心坐標(biāo)為(0，0)．13分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
3
2
)三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過定點F(-
3
，0)作直線l與橢圓E交于M、N兩點，求△OMN的面積S的最大值及此時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，兩個焦點分別為A（-1，0），B（1，0），一個頂點為H（2，0）．
（1）求橢圓E的標(biāo)準方程；
（2）對于x軸上的點P（t，0），橢圓E上存在點M，使得MP⊥MH，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為
1
2
．點P（1，
3
2
）、A、B在橢圓E上，且
PA
+
PB
=m
OP
（m∈R）；
（Ⅰ）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；
（Ⅱ）求證：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時，原點O是△PAB的重心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為
1
2
．點P（1，
3
2
）、A、B在橢圓E上，且
PA
+
PB
=m
OP
（m∈R）．
（1）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；
（2）當(dāng)m=-3時，證明原點O是△PAB的重心，并求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過M(2，1)、N(2
2
，0)兩點，P是E上的動點．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，求證：直線MA與直線MB的傾斜角互補．

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