（2013•順義區(qū)一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且點（n，Sn）在函數(shù)y=2x+1-2的圖象上．
（I）求數(shù)列{an}的通項公式；
（II）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1=0，bn+1+bn=an，求數(shù)列{bn}的前n項和公式；
（III）在第（II）問的條件下，若對于任意的n∈N*不等式bn＜λbn+1恒成立，求實數(shù)h(-1)=-
13
的取值范圍．
分析：（I）由題意可知Sn=2n+1-2，分當(dāng)n=1，和n≥2兩種情況，可得數(shù)列{an}的通項公式；
（II）可得bn+1+bn=2n，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，由累加的方法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得答案；
（III）由（II）可知bn=
2n
3
+
2
3
(n為偶數(shù))
2n
3
-
2
3
(n為奇數(shù))
，分當(dāng)n為偶數(shù)和奇數(shù)時，考慮數(shù)列的單調(diào)性，可得
bn
bn+1
的最大值是1，進(jìn)而可得結(jié)論．
解答：解：（I）由題意可知，Sn=2n+1-2．
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n，
當(dāng)n=1時，a1=S1=21+1-2=2也滿足上式，
所以an=2n(n∈N*)．…（3分）
（II）由（I）可知bn+1+bn=2n(n∈N*)，即bk+1+bk=2k(k∈N*)．
當(dāng)k=1時，b2+b1=21，…①
當(dāng)k=2時，b3+b2=22，所以-b3-b2=-22，…②
當(dāng)k=3時，b4+b3=23，…③
當(dāng)k=4時，b5+b4=24，所以-b5-b4=-24，…④
…
…
當(dāng)k=n-1時（n為偶數(shù)），bn+bn-1=2n-1，所以-bn-bn-1=-2n-1…n-1
以上n-1個式子相加，得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1
=
2[1-(-2)n-1]
1-(-2)
=
2(1+2n-1)
3
=
2n
3
+
2
3
，又b1=0，
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，bn=
2n
3
+
2
3
．
同理，當(dāng)n為奇數(shù)時，-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1
=
2[1-(-2)n-1]
1-(-2)
=
2-2n
3
，
所以，當(dāng)n為奇數(shù)時，bn=
2n
3
-
2
3
．…（6分）
因此，當(dāng)n為偶數(shù)時，數(shù)列{bn}的前n項和Tn=b1+b2+…+bn
=(
2
3
-
2
3
)+(
22
3
+
2
3
)+(
23
3
-
2
3
)+(
24
3
+
2
3
)+…+(
2n
3
+
2
3
)
=
2
3
+
22
3
+…+
2n
3
=
1
3
•
2(1-2n)
1-2
=
2n+1
3
-
2
3
；
當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)列{bn}的前n項和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn
=(
2
3
-
2
3
)+(
22
3
+
2
3
)+…+(
2n-1
3
+
2
3
)+(
2n
3
-
2
3
)
=(
2
3
+
22
3
+…+
2n
3
)-
2
3
=
2n+1
3
-
4
3
．
故數(shù)列{bn}的前n項和Tn=
2n+1
3
-
2
3
(n為偶數(shù))
2n+1
3
-
4
3
(n為奇數(shù))
．…（8分）
（III）由（II）可知bn=
2n
3
+
2
3
(n為偶數(shù))
2n
3
-
2
3
(n為奇數(shù))
，
①當(dāng)n為偶數(shù)時，
bn
bn+1
=
2n
3
+
2
3
2n+1
3
-
2
3
=
2n+2
2n+1-2
=
1
2
+
3
2n+1+2
，
所以
bn
bn+1
隨n的增大而減小，
從而，當(dāng)n為偶數(shù)時，
bn
bn+1
的最大值是
b2
b3
=1．
②當(dāng)n為奇數(shù)時，
bn
bn+1
=
2n
3
-
2
3
2n+1
3
+
2
3
=
2n-2
2n+1+2
=
1
2
-
3
2n+1+2
，
所以
bn
bn+1
隨n的增大而增大，且
bn
bn+1
=
1
2
-
3
2n+1+2
＜
1
2
＜1．
綜上，
bn
bn+1
的最大值是1．
因此，若對于任意的n∈N*，不等式bn＜λbn+1恒成立，只需λ＞1，
故實數(shù)λ的取值范圍是（1，+∞）．…（13分）
點評：本題考查數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列等比數(shù)列，以及分類討論的思想，屬中檔題．
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1-2i
2+i
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π
6
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π
2
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①函數(shù)f（x）=x2-2x（x∈R）是單函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=
log2x， x≥2
2-x，  x＜2
是單函數(shù)；
③若y=f（x）為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；
④函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某個區(qū)間D上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．
其中的真命題是
③
③
（寫出所有真命題的編號）．

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x=2-t
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1
4
，sinA=
15
8
，則a=
2
2
，c=
3
3
．

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