Question

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函數(shù)，利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對參數(shù)a進行討論，然后利用導數(shù)f′（x）≤0（注意函數(shù)的定義域）來解答．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），---------（1分）
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=-\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}$-------------------（2分）
令f′（x）=0，即$-\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$或x=1．
∵x＞0，∴$x=-\frac{1}{2}$舍去．
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，
即單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．
當x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1²+1=0．---（6分）
（2）法一：∵f（x）=lnx-a²x²+ax其定義域為（0，+∞），
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2{a^2}x+a=\frac{{-2{a^2}{x^2}+ax+1}}{x}=\frac{-（2ax+1）（ax-1）}{x}$
①當a=0時，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，不合題意----------（8分）
②當a＞0時，f'（x）＜0（x＞0）等價于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即$x＞\frac{1}{a}$．
此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{1}{a}，+∞）$．
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}≤1\\ a＞0.\end{array}\right.$解之得a≥1．-------------------（12分）
③當a＜0時，f'（x）＜0（x＞0）等價于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即$x＞\frac{1}{2a}$•
此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（-\frac{1}{2a}，+∞）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2a}≤1\\ a＜0.\end{array}\right.$得$a≤-\frac{1}{2}$（14分）
綜上，實數(shù)a的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[1，+∞）$-----------（16分）
法二：∵f（x）=lnx-a²x²+ax，x∈（0，+∞）
∴$f'（x）=\frac{{-2{a^2}{x^2}+ax+1}}{x}$
由f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，可得-2a²x²+ax+1≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．--------------8分
①當a=0時，1≤0不合題意----------------------------------10
②當a≠0時，可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4a}＜1\\ f（1）≤0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a＞\frac{1}{4}或a＜0\\-2{a^2}+a+1≤0\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞\frac{1}{4}或a＜0\\ a≥1或a≤-\frac{1}{2}\end{array}\right.$-----------14分
∴$a∈（-∞，-\frac{1}{2}]∪[1，+∞）$----------------------------------16分

點評 本題以函數(shù)為載體，綜合考查利用函數(shù)的導數(shù)來解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題的能力，考查已知函數(shù)的單調(diào)性的條件下怎樣求解參數(shù)的范圍問題，考查分類討論，函數(shù)與方程，配方法等數(shù)學思想與方法．