Question

14．如圖，在空間直角坐標系中有一棱長為m的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F，G，分別為A₁B₁，B₁C₁，BB₁的中點，H為△EFG的重心，求DH的長度．

Answer 1

分析 直接求出重心坐標，利用空間距離公式求解即可．

解答 解：在空間直角坐標系中有一棱長為m的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F，G，分別為A₁B₁，B₁C₁，BB₁的中點，H為△EFG的重心，建立如圖所示的空間直角坐標系，
易知三角形EFG是正三角形，E（m，$\frac{1}{2}m$，m），F（m，m，$\frac{1}{2}m$），G（$\frac{1}{2}m$，m，m），
可得H（$\frac{m+m+\frac{1}{2}m}{3}$，$\frac{m+m+\frac{1}{2}m}{3}$，$\frac{m+m+\frac{1}{2}m}{3}$），即H（$\frac{5m}{6}，\frac{5m}{6}，\frac{5m}{6}$），
AH=$\sqrt{（\frac{5m}{6}）^{2}+（\frac{5m}{6}）^{2}+（\frac{5m}{6}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}m}{6}$．
DH的長度：$\frac{5\sqrt{3}m}{6}$．

點評 本題考查空間距離公式的應用，考查計算能力．