Question

已知P、Q是橢圓3x²+5y²=1上滿足∠POQ=90°的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|OP|²+|OQ|²=（　�。�

• A．8
• B．

  1

  8

• C．

  8

  15

• D．無(wú)法確定

Answer 1

分析：通過(guò)計(jì)算當(dāng)P、Q在象限的角平分線上時(shí)，以及P、Q分別在橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)的|OP|²+|OQ|²，發(fā)現(xiàn)雖然∠POQ=90°不變，但隨著P、Q位置的變化這個(gè)平方和的值也在變化，由此即可得到本題的答案．

解答：解：當(dāng)P、Q在象限的角平分線上時(shí)，
由

3x2+5y2=1 y=-x

，得

x=- 2 4 y= 2 4

，所以P（-

2

4

，

2

4

）
同理可得：Q（

2

4

，

2

4

）
此時(shí)|OP|²=|OQ|²=

1

4

，可得|OP|²+|OQ|²=

1

2

當(dāng)P、Q分別在橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，P（0，

5

5

），Q（

3

3

，0）
此時(shí)|OP|²=

1

5

，|OQ|²=

1

3

，可得|OP|²+|OQ|²=

8

15

由以上的分析，可得當(dāng)∠POQ=90°時(shí)，移動(dòng)P、Q的位置，|OP|²+|OQ|²的值不是一個(gè)常數(shù)
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出以原點(diǎn)為端點(diǎn)的互相垂直的兩條射線，探索射線被橢圓截得兩條線段的平方和的大小，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．