Question

已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，則此三棱錐體積最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：說明點(diǎn)S在底面ABC上的射影O為△ABC的垂心，三棱錐S-ABC為正三棱錐，記SO=h（h＜a），求出AO，AB，表示出f（h），通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值．
解答：解：∵點(diǎn)A在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心，
∴點(diǎn)S在底面ABC上的射影O為△ABC的垂心；又△ABC為正三角形，
∴O為△ABC的中心，即三棱錐S-ABC為正三棱錐．記SO=h（h＜a），則AO=，
于是有：AB=，記三棱錐S-ABC體積為f（h），
則f（h）=，f^/（h）=，
∴f_max（h）==．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查立體幾何與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的交匯題目，考查計(jì)算能力，空間想象能力，�？碱}型．