Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²

x

2

-

3

sinx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若α是第二象限的角，且f（α-

π

3

）=-

1

5

，求

cos2α

1+cos2α-sin2α

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,兩角和與差的余弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由二倍角的余弦公式和兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)解析式，再由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由（1）化簡(jiǎn)f（α-

π

3

）=-

1

5

求出cosα，再由角的范圍和平方關(guān)系求出sinα，利用二倍角公式化簡(jiǎn)所求的式子，把數(shù)據(jù)代入求值即可．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）=2cos²

x

2

-

3

sinx=1+cosx-

3

sinx
=2cos(x+

π

3

)+1，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期是T=2π；
（2）由（1）得，f（α-

π

3

）=2cos(α-

π

3

+

π

3

)+1=2cosα+1=-

1

5

，
解得cosα=-

3

5

，
因?yàn)棣潦堑诙�象限的角，所以sinα=

1-cos2α

=

4

5

，
所以

cos2α

1+cos2α-sin2α

=

cos2α-sin2α

2cos2α-2sinαcosα

=

cosα+sinα

2cosα

=

- 3 5 + 4 5

2×(- 3 5 )

=-

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，兩角和的余弦公式，及二倍角的公式，熟練掌握公式和定義是解題的關(guān)鍵．