Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差數(shù)列，求通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析 根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)系式，由a_n與S_n的關(guān)系式求出遞推公式，由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式求出a_n．

解答 解：因?yàn)?\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差數(shù)列，
所以2a_n=$\frac{1}{2}+$S_n，①
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=$\frac{1}{2}+$S₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1=$\frac{1}{2}+$S_n-1，②，
①-②得，2a_n-2a_n-1=a_n，則a_n=2a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
所以數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，
則通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2}•{2}^{n-1}$=2^n-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，a_n與S_n的關(guān)系式，等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，屬于中檔題．