Question

3．若a＞0，設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{\frac{x}{3a}+\frac{y}{4a}≤1}\end{array}\right.$，如果z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最小值為$\frac{3}{2}$，則正數(shù)a的值為1．

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$中的$\frac{y+1}{x+1}$表示過點（x，y）與（-1．-1）連線的斜率，只需求出可行域內(nèi)的點與（-1，-1）連線的斜率即可．

解答 解：∵z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$=1+2×$\frac{y+1}{x+1}$，
而$\frac{y+1}{x+1}$表示過點（x，y）與（-1．-1）連線的斜率，
易知a＞0，所以可作出可行域，
z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的最小值為$\frac{3}{2}$，
知$\frac{y+1}{x+1}$的最小值是$\frac{1}{4}$，
即（$\frac{y+1}{x+1}$）min=$\frac{0+1}{3a+1}$=$\frac{1}{3a+1}$=$\frac{1}{4}$⇒a=1．
故答案為：1；

點評 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值．涉及到線性規(guī)劃的題目，每年必考；就此題而言，式子z=$\frac{x+2y+3}{x+1}$的處理應當成為解決本題的關(guān)鍵，一般來說，高考題中的分式結(jié)構(gòu)在處理方式上一般是分離變形，這樣其幾何意義就表現(xiàn)來了．是中檔題．