當p1,p2,…,pn均為正數(shù)時,稱
n
p1+p2+…+pn
為p1,p2,…,pn的“均倒數(shù)”.已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且其前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n+1

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)cn=
an
2n+1
(n∈N*),試比較cn+1與cn的大小;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
,是否存在最大的實數(shù)λ,使當x≤λ時,對于一切正整數(shù)n,都有f(x)≤0恒成立?
分析:(1)利用a1+a2+…+an-1+an=n(2n+1),再寫一式,兩式相減,即可得到數(shù)列{an}的通項公式;
(2)利用作差法,即可得到cn+1與cn的大;
(3)由(2)知數(shù)列 {cn}是單調(diào)遞增數(shù)列,c1=1是其的最小項.假設(shè)存在最大實數(shù),使當x≤λ時,對于一切正整數(shù)n,都有f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
≤0
恒成立,即-x2+4x≤
an
2n+1
=cn
(n∈N*),利用右邊的最小值,建立不等式,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)a1+a2+…+an-1+an=n(2n+1),a1+a2+…+an-1=(n-1)(2n-1),兩式相減,得an=4n-1(n≥2).
1
a1
=
1
2×1+1
,解得 a1=3=4×1-1,
an=4n-1(n∈N+)…(4分)
(2)∵cn=
an
2n+1
=
4n-1
2n+1
=2-
3
2n+1
,cn+1=
an+1
2n+3
=2-
3
2n+3

cn+1-cn=
3
2n+1
-
3
2n+3
>0
,即cn+1>cn.…(8分)
(3)由(2)知數(shù)列 {cn}是單調(diào)遞增數(shù)列,c1=1是其最小項,即cn≥c1=1.…(9分)
假設(shè)存在最大實數(shù),使當x≤λ時,對于一切正整數(shù)n,都有f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
≤0
恒成立,…(11分)
-x2+4x≤
an
2n+1
=cn
(n∈N*).
只需-x2+4x≤c1=1,即x2-4x+1≥0,解之得x≥2+
3
或 x≤2-
3

于是,可取λ=2-
3
…(14分)
點評:本題考查數(shù)列的通項,考查大小比較,考查解不等式,確定數(shù)列的通項與單調(diào)性是關(guān)鍵.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
5
=1,若直線x-my-3=0截雙曲線的一支所得弦長為5.
(I)求m的值;
(II)設(shè)過雙曲線C上的一點P的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于P1,P2,且點P分有向線段
P1P2
所成的比為λ(λ>0).當λ∈[
3
4
,
3
2
]
時,求|
OP1
||
OP2
|(O為坐標原點)的最大值和最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知動點P的軌跡方程為:
x2
4
-
y2
5
=1(x>2),O是坐標原點.
①若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5,求實數(shù)m的值;
②設(shè)過P的軌跡上的點P的直線與該雙曲線的兩漸近線分別交于點P1、P2,且點P分有向線段
P1P2
所成的比為λ(λ>0),當λ∈[
3
4
3
2
]時,求|
OP1
|•|
OP2
|的最值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•遂寧二模)己知雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
5
=1
,若直線x-my-3=0截雙曲線的一支所得弦長為5.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)設(shè)過雙曲線C上的一點P的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點P1、P2,且點P分有向線段
P1P2
所成的比為λ(λ>0),當λ=
2
3
時,求|
op1
|•|
OP2
|
(O為坐標原點)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(09年湖北鄂州5月模擬理)已知兩定點A(-3,0),B(3,0),動圓M與直線AB相切于點N,且,現(xiàn)分別過點A、B作動圓M的切線(異于直線AB),兩切線相交于點P

⑴求動點P的軌跡方程;

⑵若直線xmy3=0截動點P的軌跡所得的弦長為5,求m的值;

    ⑶設(shè)過軌跡上的點P的直線與兩直線分別交于點P1、P2,且點P分有向線段所成的比為λ(λ>0),當λ∈時,求的最值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2012年四川省南充高中第二次高考適應(yīng)性考試數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知動點P的軌跡方程為:-=1(x>2),O是坐標原點.
①若直線x-my-3=0截動點P的軌跡所得弦長為5,求實數(shù)m的值;
②設(shè)過P的軌跡上的點P的直線與該雙曲線的兩漸近線分別交于點P1、P2,且點P分有向線段所成的比為λ(λ>0),當λ∈[,]時,求||•||的最值.

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