在四棱錐P- ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中點，F(xiàn)是PC的中點，
(Ⅰ)求證：BE⊥平面PAD；
(Ⅱ)求證：EF∥平面PAB；
(Ⅲ)求直線EF與平面PBE所成角的余弦值．
(Ⅰ)證明：∵E是AD的中點，連結(jié)PE，
∴AB=2，AE=1，
BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAD=4+1-2×2×1×cos60°=3，
∴AE2+BE2=1+3=4=AB2，
∴BE⊥AE，
又平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，
∴BE⊥平面PAD． 
(Ⅱ)證明：取PB中點為H，連接FH，AH，
∵，又因為HF是△PBC的中位線，
∴，∴，
∴AHFE是平行四邊形，
∴EF∥AH，
又平面PAB，AH平面PAB，
∴EF∥平面PAB。
(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知，BC⊥BE，PE⊥BC，
又PE，BE是平面PBE內(nèi)兩相交直線，
∴BC⊥平面PBE，又由(Ⅱ)知，HF∥BC，
∴FH⊥平面PBE，
∴∠FEH是直線EF與平面PBE所成的角，
易知，，
在Rt△PEB中，，
∴，∴，
故直線EF與平面PBE所成角的余弦值為。
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，若AB=BC=
12
AD，則CD與平面PAC所成的角為
90°
90°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•河南模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB=1，PA=2．
（Ⅰ）證明：直線CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱錐E-PAC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=
7
，PA=
3
，∠ABC=120°，G為線段PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BGD；
（2）求直線DG與平面PAC所成的角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

 （08年揚州中學(xué)） 如圖，在四棱錐P―ABC中，PA⊥底面ABCD，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E、F分別為PC、CD的中點

    ⑴證明：CD⊥平面BEF；

⑵設(shè)PA=k?AB，且AD與PC所成的角為60°，求k的值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆陜西省高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

（12分）在四棱錐P-ABC中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M,N分別是AB,PC的中點。

  （1）求證：MN∥平面PAD。

  （2）求證：MNCD.

（3）若PD與平面ABCD所成的角為450，

求證：MN平面PCD.

 

 

 

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