Question

△ABC中三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足：sin²A-cos²A=

1

2

，比較b+c與2a的大�。�

Answer 1

分析：解法一：利用sin²A-cos²A=

1

2

，求出A，分類討論，利用正弦定理，化邊為角，即可得到結(jié)論；
解法二：利用sin²A-cos²A=

1

2

，求出A，分類討論，利用余弦定理，化角為邊，即可得到結(jié)論．

解答：（解法一）由題設(shè)得cos2A=-

1

2

，又0＜2A＜2π，所以2A=

2π

3

或

4π

3

，
所以A=

π

3

或A=

2π

3

…（4分）
（1）當(dāng)A=

π

3

時(shí)，設(shè)B=

π

3

+α，C=

π

3

-α(-

π

3

＜α＜

π

3

)
則由正弦定理得

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sin( π 3 +α)+sin( π 3 -α)

2sin π 3

=

2sin π 3 cosα

2sin π 3

=cosα≤1，
所以b+c≤2a（A=B=C=

π

3

時(shí)取等號）                   …（8分）
（2）當(dāng)A=

2π

3

設(shè)B=

π

6

+α，C=

π

6

-α(-

π

6

＜α＜

π

6

)
則由正弦定理得

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sin( π 6 +α)+sin( π 6 -α)

2sin 2π 3

=

2sin π 6 cosα

2sin 2π 3

=

1

3

cosα＜1，
所以b+c＜2a
綜上，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，b+c=2a；當(dāng)△ABC為非等邊三角形時(shí)，b+c＜2a…（12分）
（解法二）由題設(shè)得cos2A=-

1

2

，又0＜2A＜2π，所以2A=

2π

3

或

4π

3

所以A=

π

3

或A=

2π

3

…（4分）
（1）當(dāng)A=

π

3

時(shí)，由余弦定理得a²=b²+c²-ac，
因?yàn)?a²-（b+c）²=4（b²+c²-bc）-（b²+c²+2bc）=3（b-c）²≥0
所以b+c≤2a（當(dāng)a=b=c時(shí)取等號）                      …（8分）
（2）當(dāng)A=

2π

3

由余弦定理得a²=b²+c²+ac
因?yàn)?a²-（b+c）²=4（b²+c²+bc）-（b²+c²+2bc）=3b²+3c²+2bc＞0
所以b+c＜2a
綜上，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，b+c=2a；當(dāng)△ABC為非等邊三角形時(shí)，b+c＜2a…（12分）

點(diǎn)評：本題考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．