Question

在如圖所示的多面體中，四邊形ABCD為正方形，四邊形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面ADPQ，AB=AQ=

1

2

DP．
（1）求證：PQ⊥平面DCQ；
（2）若AQ=2，求四面體C-BDQ的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥PQ，作QE⊥DP，E為垂足，則四邊形ADEQ是正方形，利用勾股定理的逆定理可得DQ⊥QP，再利用三垂線定理即可證明；
（2）四面體C-BDQ的體積=四面體Q-BCD的體積．

解答： 解：（1）∵CD⊥平面ADPQ，
∴CD⊥PQ，
作QE⊥DP，E為垂足，則四邊形ADEQ是正方形，
不妨設(shè)AB=1，則DE=1，DQ=

2

，
又DP=2AB=2，∴E是DP的中點(diǎn)，EP=1，
∴PQ=

2

，
∴DQ²+PQ²=DP²，
∴DQ⊥PQ．
∴PQ⊥平面DCQ．
（2）∵CD⊥平面ADPQ，
∴AQ⊥CD又AQ⊥AD，
∴AQ⊥平面ABCD，
∴VC-BDQ=VQ-BCD=

1

3

S△BCD•AQ=

1

3

×

1

2

×22×2=

4

3

．
∴四面體C-BDQ的體積為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、三垂線定理、四面體的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．