(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的切線,其切點(diǎn)分別為(其中)。
⑴ 求的值;
⑵ 若以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切,求圓的面積。

,;⑵圓的面積為 。

解析試題分析:(Ⅰ)由y=x2先求出y′=2x.再由直線PM與曲線T0相切,且過點(diǎn)P(1,-1),得到x1=1-,或x1=1+;同理可得x2=1-,或x2=1+,然后由x1<x2知x1=1-,x2=1+
(Ⅱ)由題意知,x1+x2=2,x1•x2=-1,則直線MN的方程為:2x-y+1=0.再由點(diǎn)P到直線MN的距離即為圓E的半徑,可求出圓E的面積.
解:⑴由可得,    ……1分
∵直線與曲線相切,且過點(diǎn),∴,即,
,   ……3分    ∴,  ……5分
同理可得    ……6分
   ∴,    ……7分
⑵由⑴知,   
      ……9分
直線方程為:, 即   ……11分
     ……13分  故圓的面積為      ……14分
考點(diǎn):本試題主要考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的思想得到切線的斜率,進(jìn)而得到坐標(biāo)的值,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切點(diǎn)的坐標(biāo),并能利用韋達(dá)定理,得到直線方程,點(diǎn)到直線的距離公式得到圓的半徑求解其面積。

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

求與橢圓有共同焦點(diǎn),且過點(diǎn)(0,2)的雙曲線方程,并且求出這條雙曲線的實(shí)軸長、焦距、離心率以及漸近線方程.

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(10分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),并與雙曲線的實(shí)軸垂直,已知拋物線與雙曲線的交點(diǎn)為.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;    (2)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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(12分)雙曲線的離心率等于,且與橢圓有公共焦點(diǎn),
①求此雙曲線的方程.
②若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的焦距,求該拋物線方程.

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已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線的焦點(diǎn),且離心率等于,直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)橢圓C的右焦點(diǎn)F是否可以為的垂心?若可以,求出直線的方程;若不行,請說明理由.

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(本題滿分13分)在正三角形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn),已知到三頂點(diǎn)的距離分別為,且滿足,求點(diǎn)的軌跡方程.

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(12分)已知拋物線, 過點(diǎn)引一弦,使它恰在點(diǎn)被平分,求這條弦所在的直線的方程.

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(本題滿分12分)
已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線在y軸上的截距為m(m≠0),交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為、,且四邊形是邊長為2的正方形。
(1)求橢圓方程;
(2)若分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連接,交橢圓于點(diǎn);證明:為定值;

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