Question

設(shè)集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^*，記f（n）為同時(shí)滿足下列條件的集合A的個(gè)數(shù)：①A⊆P_n②若x∈A，則2x∉A③若x∈C_PnA，則2x∉C_PnA，則f（4）=

4

．

Answer 1

分析：由題意得P₄={1，2，3，4}，根據(jù)題中的3個(gè)條件，可得A的元素滿足條件：元素“1”與“4”必須同時(shí)屬于A，或同時(shí)不屬于A；元素“2”不能與“1”或“4”同時(shí)屬于A，或同時(shí)不屬于A；元素“3”可以屬于A也可以不屬于A．由此加以分類，可得本題答案．

解答：解：當(dāng)n=4時(shí)，得P₄={1，2，3，4}，
①若1∈A，則2∉A，即2∈C_P4A，可得4∉C_P4A，即4∈A，
可得含有元素“1”的集合為A={1，4}或A={1，3，4}；
②若1∉A，即1∈C_P4A，可得2∉C_P4A，即2∈A，同時(shí)4∉A，
可得不含有元素“1”的集合為A={2}或A={2，3}．
綜上所述，同時(shí)滿足3個(gè)條件的集合A為{1，4}、{1，3，4}、{2}或{2，3}，共4個(gè)．
由此可得f（4）=4
故答案為：4

點(diǎn)評：本題給出實(shí)際問題，求滿足條件的集合的個(gè)數(shù)．考查了確定集合的元素的知識點(diǎn)，屬于中檔題．其中分類討論、確定元素的邏輯關(guān)系，然后列舉滿足條件的集合A是解答的關(guān)鍵．