Question

已知函數(shù)f(x)=

px+3

x2+2

（其中p為常數(shù)，x∈[-2，2]）為偶函數(shù)．
（1）求p的值；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）如果f（1-m）＜f（2m），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）任意x∈R恒成立，代入解析式結(jié)合比較系數(shù)法，可得實(shí)數(shù)p的值；
（2）由（1）知函數(shù)解析式為f(x)=

3

x2+2

，再設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）與f（x₂）作差，因式分解后經(jīng)過(guò)討論可得
f（x₁）＞f（x₂），因此，函數(shù)f（x）在（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）因?yàn)閒（x）在[0，2]上為減函數(shù)，f（x）又是偶函數(shù)，所以f（x）在[-2，0]上為單調(diào)增函數(shù)．因此，原不等式等價(jià)于2≥|1-m|＞|2m|≥0，用平方的方法，可解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解（1）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴

-px+3

x2+2

=

px+3

x2+2

，可得2px=0對(duì)任意x∈R恒成立，故p=0．…（4分）
（2）由（1）知函數(shù)表達(dá)式為：f(x)=

3

x2+2

．
設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，…（6分）
則f(x1)-f(x2)=

3

x12+2

-

3

x22+2

=

3(x2-x1)(x2+x1)

(x12+2)(x22+2)

．…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，且(x12+2)(x22+2)＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x₁）＞f（x₂）
因此，函數(shù)f（x）在（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)．…（10分）
（3）由（2）得f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，
∵f（x）是偶函數(shù)，所以f（x）在[-2，0]上為單調(diào)增函數(shù)．…（12分）
因此，不等式f（1-m）＜f（2m）可化為：2≥|1-m|＞|2m|≥0，
∴4＞（1-m）²＞（2m）²，解之得-1＜m＜

1

3

．
所以滿足f（1-m）＜f（2m）的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-1，

1

3

)．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題在含有參數(shù)的分式函數(shù)的奇偶性已知的情況下，求參數(shù)的值并且討論了函數(shù)的單調(diào)性，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．