【題目】如圖，已知平面平面為等邊三角形，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求直線和平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件可證四邊形為平行四邊形，則，再利用線面垂直的判定定理證明平面，最后根據(jù)面面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；

（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，利用線面角的定義找到直線與平面所成角，再通過解三角形得到和即可求出結(jié)果.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.

∵為的中點(diǎn)，∴且.

∵平面平面，

∴，∴.

又，∴，

∴四邊形為平行四邊形，則.

∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴.

∵平面，平面，∴.

又，故平面.

∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.

∵平面平面，平面平面，∴平面，

∴為和平面所成的角，

設(shè)，則，，

中，，

∴直線和平面所成角的正弦值為.

【點(diǎn)晴】

本題考查面面垂直的證明、空間直線和平面的位置關(guān)系以及空間角的計(jì)算，考查考生的推理論證能力以及運(yùn)算求解能力，屬中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為和在第一象限的交點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若，過焦點(diǎn)F的直線l與相交于A，B兩點(diǎn)，已知，求取得最大值時(shí)直線l的方程．

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓：()的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且.若橢圓的內(nèi)接四邊形的邊的延長線交于橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，記直線的斜率分別為，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系并取相同的單位長度，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.

（1）把曲線C1的方程化為普通方程，C2的方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C1，C2相交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，過點(diǎn)P做曲線C2的垂線交曲線C1于E，F兩點(diǎn)，求|PE||PF|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，過AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l.下面給出了四個(gè)命題：這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

①l∥AC；

②BM⊥AC；

③l和AD1所成的角為60°；

④線段BM長度的最小值為.

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某小學(xué)的期末考試中抽取部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，由抽查結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖，分?jǐn)?shù)落在區(qū)間，，內(nèi)的頻率之比為．

（1）求這些學(xué)生的分?jǐn)?shù)落在區(qū)間內(nèi)的頻率；

（2）（�。┤舨捎梅謱映闃拥姆椒◤姆�?jǐn)?shù)落在區(qū)間，內(nèi)抽取4人，求從分?jǐn)?shù)落在區(qū)間，內(nèi)各抽取的人數(shù)；

（ⅱ）從上述抽取的4人中再隨機(jī)抽取2人，求這2人全部來自于區(qū)間內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司準(zhǔn)備將1000萬元資金投人到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲，乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目選擇，若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤（萬元）的概率分布列如表所示：

110

120

170

0.4

且的期望；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤（萬元）與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否在第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立且調(diào)整的概率分別為和.若乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)（次數(shù)）與的關(guān)系如表所示：

0

1

2

41.2

117.6

204.0

（1）求，的值；

（2）求的分布列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點(diǎn)且傾斜角為.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，l與C交于M，N兩點(diǎn).

（1）求C的直角坐標(biāo)方程和的取值范圍；

（2）求MN中點(diǎn)H的軌跡的參數(shù)方程.

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