【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2AD＝4，過AA1作平面α使BD⊥α，且平面α∩平面A1B1C1D1＝l，M∈l.下面給出了四個命題：這四個命題中，真命題的個數(shù)為（ ）

①l∥AC；

②BM⊥AC；

③l和AD1所成的角為60°；

④線段BM長度的最小值為.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

①由ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，可得BD⊥平面A1ACC1，可得面A1ACC1為平面α，再判斷；②結(jié)合①根據(jù)底面是正方形判斷.③利用異面直線所成的角的定義判斷.④利用垂線段最短，當(dāng)M是A1C1的中點時求解判斷.

如圖所示：

由ABCD﹣A1B1C1D1為長方體，可得BD⊥平面A1ACC1，

即平面A1ACC1為平面α，直線A1C1為l，則l∥AC，故①正確；

由M∈l，即M∈A1C1，只有當(dāng)M為A1C1的中點時，有BM⊥AC，

當(dāng)M在l上其它位置時，BM與AC不垂直，故②錯誤；

由AD1∥BC1，可知∠A1C1B即為l和AD1所成角，

∵A1B＝BC1≠A1C1，∴∠A1C1B≠60°，故③錯誤；

由A1B＝BC1，可知當(dāng)M是A1C1的中點時，BM⊥A1C1，

此時線段BM取得最小值，且BM，∴④錯誤.

故只有①正確.

故選：A.

練習(xí)冊系列答案
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（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

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（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），又直線l與曲線C的交點為E，F，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段EF的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

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A.B.C.D.

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