已知F1、F2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是（　�。�
A、2B、3C、4D、5
分析：本題考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，要求出雙曲線的離心率，關(guān)鍵是要根據(jù)已知構(gòu)造一個(gè)關(guān)于離心率e，或是關(guān)于實(shí)半軸長(zhǎng)2a與焦距2C的方程，解方程即可求出離心率，注意到已知條件中，∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，結(jié)合雙曲線的定義，我們不難得到想要的方程，進(jìn)而求出離心率．
解答：解：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，
不妨設(shè)P在第一象限，
則由已知得
m-n=2a
m2+n2=(2c)2
n+2c=2m

∴5a2-6ac+c2=0，
方程兩邊同除a2得：
即e2-6e+5=0，
解得e=5或e=1（舍去），
故選D．
點(diǎn)評(píng)：解題過程中，為了解答過程的簡(jiǎn)便，我們把未知|PF1|設(shè)為m，|PF2|設(shè)為n，這時(shí)要求離心率e，我們要找出a，c之間的關(guān)系，則至少需要三個(gè)方程，由已知中，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，我們不難得到兩個(gè)方程，此時(shí)一定要注意雙曲線的定義，即P點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為定值．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•湖南）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：
x25
+y2=1的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長(zhǎng)分別為a，b．當(dāng)ab最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•青島二模）已知F1、F2分別是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，
PF2
⊥
F1F2
，且|
PF1
|=
2
|
PF2
|，則雙曲線的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1 (a＞0， b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率e=
1
2
，F(xiàn)1也是拋物線C1：y2=-4x的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F2的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，且2
DF2
=
F2E
，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為G，求直線GD的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，P是雙曲線的上一點(diǎn)，若
PF1
•
PF2
=0且|
PF1
|•|
PF2
|=3ab，則雙曲線的離心率是
 
．

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