已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
3
5
，an+1=
3an
2an+1
，n=1，2…
（1）求證{
1
an
-1}是等比數(shù)列
（2）求出{an}的通項(xiàng)公式．
考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的性質(zhì)
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出
1
an+1
-1=
1
3
（
1
an
-1），由此能證明{
1
an
-1}是首項(xiàng)為
2
3
，公比為
1
3
的等比數(shù)列．
（2）由已知條件得
1
an
-1=
2
3
•(
1
3
)n-1=2•(
1
3
)n，由此能求出{an}的通項(xiàng)公式．
解答： （1）證明：∵數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
3
5
，an+1=
3an
2an+1
，
∴
1
an+1
=
2an+1
3an
=
2
3
+
1
3an
，
∴
1
an+1
-1=
1
3
（
1
an
-1），
∴
1
an+1
-1
1
an
-1
=
1
3
，
∵
1
a1
-1=
5
3
-1=
2
3
，
∴{
1
an
-1}是首項(xiàng)為
2
3
，公比為
1
3
的等比數(shù)列．
（2）解：∵{
1
an
-1}是首項(xiàng)為
2
3
，公比為
1
3
的等比數(shù)列．
∴
1
an
-1=
2
3
•(
1
3
)n-1=2•(
1
3
)n，
∴
1
an
=2•(
1
3
)n+1，
∴an=
1
2•(
1
3
)n+1
=
3n
3n+2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

先閱讀如圖所示框圖，再解答有關(guān)問(wèn)題：
（1）當(dāng)輸入的n分別為1，2，3時(shí)，a各是多少？當(dāng)輸入已知量n時(shí)，猜想輸出a、S的結(jié)果是什么？
（2）當(dāng)輸入已知量n時(shí)，請(qǐng)證明①輸出a的結(jié)果；并寫(xiě)出求S的過(guò)程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求數(shù)列
1
1+2
，
1
1+2+3
，…，
1
1+2+…+(n+1)
的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩正數(shù)x，y滿足x+y=1，求z=（x+
1
x
）（y+
1
y
）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，正方形ABCD與正方形BDEF所在的平面互相垂直，AB=1．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求多面體ABCDEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=4，an=4-
4
an-1
（n＞1），其中n∈N*
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足cn=
4
anan+1
，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的乘積為T(mén)n，試證明：2012T2011＞
1
2013
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x
1
2
+x-
1
2
=3，求
x
3
2
+x-
3
2
+2
x-1+x+3
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x）．若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（x+1），則當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

△A1B1C1與△A2B2C2滿足A1B1=A2B2=8，A1C1=A2C2=b，B1=B2=
π
6
，則當(dāng)b=
 
時(shí)，一定能判定△A1B1C1與△A2B2C2全等．（寫(xiě)出一個(gè)值即可）

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