Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，n=1，2…
（1）求證{

1

an

-1}是等比數(shù)列
（2）求出{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1），由此能證明{

1

an

-1}是首項為

2

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
（2）由已知條件得

1

an

-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n，由此能求出{a_n}的通項公式．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}的首項a₁=

3

5

，a_n+1=

3an

2an+1

，
∴

1

an+1

=

2an+1

3an

=

2

3

+

1

3an

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

（

1

an

-1），
∴

1 an+1 -1

1 an -1

=

1

3

，
∵

1

a1

-1=

5

3

-1=

2

3

，
∴{

1

an

-1}是首項為

2

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
（2）解：∵{

1

an

-1}是首項為

2

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
∴

1

an

-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n，
∴

1

an

=2•(

1

3

)n+1，
∴a_n=

1

2•( 1 3 )n+1

=

3n

3n+2

．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．