Question

11．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個圖形包含f（n）個小正方形．
（1）求出f（2），f（3）f（4）f（5）并猜測f（n）的表達式；
（2）求證：$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$$＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先分別觀察給出正方體的個數(shù)為：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（2），f（3），f（4），f（5）；總結(jié)一般性的規(guī)律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用疊加法，可求f（n）的表達式；
（2）根據(jù)通項特點，利用裂項法求和，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可得證．

解答 解：（1）∵f（1）=1，
f（2）=5，
f（3）=13，
f（4）=25，
∴f（5）=25+4×4=41．
∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式規(guī)律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1（n≥2），
又n=1時，f（1）也適合f（n）．
∴f（n）=2n²-2n+1．--------（6分）
證明：（2）當n≥2時，$\frac{1}{f（n）-1}$=$\frac{1}{2{n}^{2}-2n+1-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{3}{2}$

點評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．