Question

已知函數(shù)f（x）=

5

2

sinAsinx+cos2x（x∈R），且滿足cos（A+

π

4

）=-

2

10

，A∈（

π

4

，

π

2

）
（1）求sinA的值；
（2求f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（1）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出函數(shù)的值．
（2）首先利用函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成二次函數(shù)的形式，進(jìn)一步利用內(nèi)函數(shù)的值域求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）∵A∈（

π

4

，

π

2

），
∴A+

π

4

∈(

π

2

，

3π

4

)，
∴cos（A+

π

4

）=-

2

10

，
sin(A+

π

4

)=

7 2

10

，
故sinA=sin[（A+

π

4

）-

π

4

]=

4

5

；
（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1-2sin²x=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，x∈R．
則：sinx∈[-1，1]，
當(dāng)sinx=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用三角函數(shù)的關(guān)系式求函數(shù)的值，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，復(fù)合函數(shù)的最值問(wèn)題．屬于基礎(chǔ)題型．