Question

【題目】已知為橢圓E： 的左、右頂點(diǎn)， ，E的兩個(gè)焦點(diǎn)與E的短軸兩個(gè)端點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是正方形．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)（），記直線與E的交點(diǎn)（不同于）到x軸的距離分別為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1））由得，由的兩個(gè)焦點(diǎn)與的短軸兩個(gè)端點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是正方形．可得，又，解得，從而可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，將兩直線方程分別與橢圓方程聯(lián)立，求得， ，從而 ，利用基本不等式可得結(jié)果.

試題解析：（1）由得，則．

因?yàn)?/span>E的兩個(gè)焦點(diǎn)與E的短軸兩個(gè)端點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是正方形．

所以，又，解得，

故橢圓E的方程為．

（2）不妨設(shè)．直線的方程為，直線的方程為，

設(shè)，

由得，可得．

又由得，可得．

則 ．

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，則，

即．當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．