Question

10．心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如表：（單位：人）

	幾何題	代數(shù)題	總計(jì)
男同學(xué)	22	8	30
女同學(xué)	8	12	20
總計(jì)	30	20	50

（Ⅰ）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？
（Ⅱ）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在5-7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在6-8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
附表及公式：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算K²，對(duì)照附表做結(jié)論；
（2）作出甲，乙兩人解答時(shí)間的平面區(qū)域，找出乙比甲早做完對(duì)于的區(qū)域，則區(qū)域面積的比值即為所求概率；
（3）使用組合數(shù)公式和古典概型的概率計(jì)算公式分別計(jì)算X取不同值時(shí)的概率，得到X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由表中數(shù)據(jù)得K²的觀測(cè)值K²=$\frac{50（22×12-8×8）^{2}}{30×20×30×20}$=$\frac{50}{9}≈5.556$＞5.024．
所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)．
（2）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x，y分鐘，
則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$（如圖所示）．

設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題”
則滿足的區(qū)域?yàn)閤＞y．
∴P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$
即乙比甲先解答完的概率為$\frac{1}{8}$．
（3）在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有${C}_{8}^{2}$=28 種，
其中甲、乙兩人都不被被抽到有${C}_{6}^{2}$=15種；恰有一人被抽到有${C}_{2}^{1}$•${C}_{6}^{1}$=12種；兩人都被抽到有${C}_{2}^{2}$=1種．
X可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{1}{28}$．
X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{28}$

∴E（X）=0×$\frac{15}{28}$+1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想，幾何概型的概率計(jì)算，離散性隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．