Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1，bn=

3+(-1)n-1

2

，n∈N*，且a1=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）設c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，證明{c_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由題意可得bn=

2，n為奇數(shù) 1，n為偶數(shù)

，結合題意分別令n=1，n=2即可得到答案．
（Ⅱ）由題意可得：a_2n-1+2a_2n=-2^2n-1+1，2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1兩個式子相減即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由bn=

3+(-1)n-1

2

，n∈N*，可得bn=

2，n為奇數(shù) 1，n為偶數(shù)

又因為b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，
當n=1時，a1+2a2=-1，由a1=2，可得a2=-

3

2

；
當n=2時，2a₂+a₃=5，可得a₃=8．
（Ⅱ）證明：對任意n∈N^*都有：a_2n-1+2a_2n=-2^2n-1+1…①
并且有：2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②
②-①，得a_2n+1-a_2n-1=3×2^2n-1，即c_n=3×2^2n-1，
于是

cn+1

cn

=4，
所以{c_n}是等比數(shù)列．

點評：本題考查利用賦值法求數(shù)列的項，以及考查等比數(shù)列的定義．