Question

8．（1）已知a∈R且a≠0，試比較a與$\frac{1}{a}$的大�。�
（2）解關(guān)于x的不等式ax²-（a²+1）x+a＞0，a∈R．

Answer 1

分析 （1）通過討論a的范圍，比較大小即可；
（2）求出對應(yīng)方程（x-a）（ax-1）=0的根，通過討論a的范圍，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）若$a=\frac{1}{a}$，則a=±1；
當a＜-1時，$a＜\frac{1}{a}$；當-1＜a＜0時，$a＞\frac{1}{a}$；
當0＜a＜1時，$a＜\frac{1}{a}$；當a＞1時，$a＞\frac{1}{a}$；
（2）當a=0時，不等式的解集為{x|x＜0}；
當a≠0時，若ax²-（a²+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，
則${x_1}=a，{x_2}=\frac{1}{a}$，
由第（1）問的結(jié)論，可知：
當a＜-1時，不等式的解集為$\{x|a＜x＜\frac{1}{a}\}$；
當-1＜a＜0時，不等式的解集為$\{x|\frac{1}{a}＜x＜a\}$；
當0＜a＜1時，不等式的解集為$\{x|x＞\frac{1}{a}$或x＜a}；
當a＞1時，不等式的解集為{x|x＞a或$x＜\frac{1}{a}\}$；
當a=-1時，不等式的解集為ϕ；
當a=1時，不等式的解集為{x|x≠1}．

點評 本題考查了解二次不等式問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．