Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)$A（\sqrt{3}，0）$和點(diǎn)B（0，2），斜率為k（k≠0）的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，0）且交E于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）當(dāng)△AOM與△AON面積比值為7，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)$A（\sqrt{3}，0）$和點(diǎn)B（0，2），列出方程組，求出a=2，b=$\sqrt{3}$，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）取立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}}\right.$，得（3k²+4）y²+16ky+4k²=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式，結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)k的值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)$A（\sqrt{3}，0）$和點(diǎn)B（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{^{2}}=1}\\{\frac{4}{{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
取立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}}\right.$，得（3k²+4）y²+16ky+4k²=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=\frac{-16k}{{3{k^2}+4}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{{4{k^2}}}{{3{k^2}+4}}}\end{array}}\right.$，且△=256k²-16k²（3k²+4）＞0，
解得0＜k²＜4，
$\frac{{{S_{△AOM}}}}{{{S_{△AON}}}}=\frac{y_1}{y_2}$，
∴y₁=7y₂$⇒\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=8{y_2}}\\{{y_1}{y_2}=7y_2^2}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{-16{k^{\;}}}}{{3{k^2}+4}}=8{y_2}}\\{\frac{{4{k^2}}}{{3{k^2}+4}}=7y_2^2}\end{array}}\right.$$⇒\frac{64}{{3{k^2}+4}}=\frac{64}{7}$，
解得實(shí)數(shù)k的值為±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查橢圓、韋達(dá)定理、根的判別式、直線方程、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．