Question

已知命題P：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，命題Q：不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，如果P，Q中有且僅有一個(gè)正確，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：首先解出兩個(gè)命題成立時(shí)對(duì)應(yīng)的a的范圍，再依據(jù)P，Q中有且僅有一個(gè)正確正確的條件，解出符合條件的a的范圍．

解答：解：對(duì)于命題P：a²x²+ax-2=0可變?yōu)椋╝x+2）×（ax-1）=0，當(dāng)a=0時(shí)方程無(wú)意義，故a不為0，由此可解得方程的根為x=-

2

a

或x=

1

a

當(dāng)-

2

a

∈[-1，1]時(shí)，必有

1

a

∈[-1，1]，故只需

1

a

∈[-1，1]成立即可，解得a≥1或a≤-1
對(duì)于命題Q：不等式x+|x-2a|＞1可以變?yōu)閨x-2a|＞1-x，考察不等式兩邊表達(dá)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，如圖只需2a＞1，即a＞

1

2

∵P，Q中有且僅有一個(gè)正確
若P真Q假則可得a≤-1
若P假Q(mào)真，則可得

1

2

＜a＜1
綜上，當(dāng)a≤-1或

1

2

＜a＜1時(shí)P，Q中有且僅有一個(gè)正確
答：a≤-1或

1

2

＜a＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是命題真假性的判斷，此類題考試方式經(jīng)常與不等式或者方程有解等知識(shí)一起出現(xiàn)，其特征是大的判斷是命題的真假性與命題的關(guān)系，細(xì)節(jié)上是解方程等．