已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，以右焦點(diǎn)為圓心，橢圓長(zhǎng)半軸為半徑的圓與直線x+
3
y+3=0相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A(1，
3
2
)為定點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．
分析：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)以右焦點(diǎn)為圓心，橢圓長(zhǎng)半軸為半徑的圓與直線x+
3
y+3=0相切，即可確定橢圓的幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線AE方程代入橢圓方程，利用點(diǎn)A(1，
3
2
)在橢圓上，可求E的坐標(biāo)，利用直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，可求F的坐標(biāo)，從而可得直線EF的斜率，問題得解．
解答：（1）解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為（c，0）
∵以右焦點(diǎn)為圓心，橢圓長(zhǎng)半軸為半徑的圓與直線x+
3
y+3=0相切
∴
|c+3|
2
=a
∵e=
1
2
，∴a=2c
∴
|c+3|
2
=2c，∴c=1
∴a=2
∴b2=a2-c2=3
∴
x2
4
+
y2
3
=1
（2）證明：設(shè)直線AE方程：得y=k(x-1)+
3
2
，
代入橢圓方程，消元可得（3+4k2）x2+4k（3-2k）x+4(
3
2
-k)2-12=0
設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）．
因?yàn)辄c(diǎn)A(1，
3
2
)在橢圓上，
所以x1=
4(
3
2
-k)2-12
3+4k2
，y1=kx1+
3
2
-k．
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，
可得x2=
4(
3
2
+k)2-12
3+4k2
，y2=-kx2+
3
2
+k．
所以直線EF的斜率kEF=
y2-y1
x2-x1
=
1
2
．
即直線EF的斜率為定值，其值為
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線斜率的求解，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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