Question

小張有一只放有a個(gè)紅球、b個(gè)黃球、c個(gè)白球的箱子，且a+b+c=6（a，b，c∈N），小劉有一只放有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球、1個(gè)白球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球，規(guī)定：當(dāng)兩球同色時(shí)小張勝，異色時(shí)小劉勝．
（1）用a、b、c表示小張勝的概率；
（2）若又規(guī)定當(dāng)小張取紅、黃、白球而勝的得分分別為1分、2分、3分，否則得0分，求小張得分的期望的最大值及此時(shí)a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）由P（小張勝）=P（兩人均取紅球）+P（兩人均取黃球）+P（兩人均取白球），能用a、b、c表示小張勝的概率．
（2）設(shè)小張的得分為隨機(jī)變量ξ，則P（ξ=3）=

c

6

×

1

6

，P（ξ=2）=

b

6

×

2

6

，P（ξ=1）=

a

6

×

3

6

，P（ξ=0）=1一P（小張勝）=1一

3a+2b+c

36

，由此能求出小張得分的期望的最大值及此時(shí)a、b、c的值．

解答：解：（1）P（小張勝）=P（兩人均取紅球）+P（兩人均取黃球）+P（兩人均取白球）
=

a

6

× 

3

6

+

b

6

×

2

6

+

c

6

×

1

6

=

3a+2b+c

36

．
（2）設(shè)小張的得分為隨機(jī)變量ξ，則
P（ξ=3）=

c

6

×

1

6

，P（ξ=2）=

b

6

×

2

6

，P（ξ=1）=

a

6

×

3

6

，
P（ξ=0）=1一P（小張勝）=1一

3a+2b+c

36

，
∴Eξ=3×

c

6

×

1

6

+2×

b

6

×

2

6

+1×

a

6

×

3

6

+0×（1一

3a+2b+c

36

）
=

3a+4b+3c

36

=

3(a+b+c)+b

36

=

1

2

+

b

36

．
∵a，b，c∈N，a+b+c=6，
∴b=6-a-b，
此時(shí)a=c=0，b=6時(shí)，Eξ最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的性質(zhì)和求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．