【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,.

1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)記.若對(duì)任意正整數(shù)n,恒成立,求k的取值范圍;

3)已知集合.若以a為首項(xiàng),a為公比的等比數(shù)列前n項(xiàng)和記為,問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a,使得對(duì)于任意的均有.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1;(2;(3)存在,.

【解析】

1)由題意結(jié)合數(shù)列的關(guān)系可得,進(jìn)而可得是以為首項(xiàng),公比的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解;

2)由題意結(jié)合無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式可得,轉(zhuǎn)化條件為恒成立,按照n是偶數(shù)、n是奇數(shù)分類(lèi),根據(jù)單調(diào)性與極限求得的最小值即可得解;

3)由題意,按照、分類(lèi);當(dāng)時(shí),由不成立可排除;當(dāng)時(shí),由單調(diào)性結(jié)合極限可得,進(jìn)而可得,即可得解.

1)由題意知,當(dāng)時(shí),兩式相減變形得:.

時(shí),,于是,

故數(shù)列是以為首項(xiàng),公比的等比數(shù)列,

;

2)由題意,

所以恒成立,

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),n的增函數(shù),于是,故

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),n的減函數(shù),因?yàn)?/span>,故,

綜上所述,k的取值范圍是;

3)由題意,

①當(dāng)時(shí),

,若,則

,此不等式組的解集為空集,

即當(dāng)時(shí),不存在滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a;

②當(dāng)時(shí),,

是關(guān)于n的增函數(shù),,

,故,

因此對(duì)任意的,要使,只需,解得;

綜上,a的取值范圍為.

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1)數(shù)列是否為等比數(shù)列?證明你的結(jié)論;

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(1)求直線l的普通方程;

(2)設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為L(zhǎng),求L的最大值.

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【題目】2020年寒假,因?yàn)?/span>新冠疫情全體學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí),為了研究學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況,某學(xué)校隨機(jī)抽取名學(xué)生對(duì)線上教學(xué)進(jìn)行調(diào)查,其中男生與女生的人數(shù)之比為,抽取的學(xué)生中男生有人對(duì)線上教學(xué)滿(mǎn)意,女生中有名表示對(duì)線上教學(xué)不滿(mǎn)意.

1)完成列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為對(duì)線上教學(xué)是否滿(mǎn)意 與性別有關(guān)

態(tài)度

性別

滿(mǎn)意

不滿(mǎn)意

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

100

2)從被調(diào)查的對(duì)線上教學(xué)滿(mǎn)意的學(xué)生中,利用分層抽樣抽取名學(xué)生,再在這名學(xué)生中抽取名學(xué)生,作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)介紹,求其中抽取一名男生與一名女生的概率.

附:.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知兩個(gè)不同的單位向量之間滿(mǎn)足關(guān)系:,其中

1)若,求的解析式;

2能否和垂直?能否和平行?若不能,則說(shuō)明理由;若能,則求出對(duì)應(yīng)的k值;

3)求夾角的最大值.

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【題目】低密度脂蛋白是一種運(yùn)載膽固醇進(jìn)入外周組織細(xì)胞的脂蛋白顆粒,可被氧化成氧化低密度脂蛋白,當(dāng)?shù)兔芏戎鞍,尤其是氧化修飾的低密度脂蛋白過(guò)量時(shí),它攜帶的膽固醇便積存在動(dòng)脈壁上,久了容易引起動(dòng)脈硬化,因此低密度脂蛋白被稱(chēng)為“壞的膽固醇”.為了調(diào)查某地中年人的低密度脂蛋白濃度是否與肥胖有關(guān),隨機(jī)調(diào)查該地100名中年人,得到2×2列聯(lián)表如下:

肥胖

不肥胖

總計(jì)

低密度脂蛋白不高于

12

63

75

低密度脂蛋白高于

8

17

25

總計(jì)

20

80

100

由此得出的正確結(jié)論是( )

A.10%的把握認(rèn)為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關(guān)”

B.10%的把握認(rèn)為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無(wú)關(guān)”

C.90%的把握認(rèn)為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有關(guān)”

D.90%的把握認(rèn)為“該地中年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無(wú)關(guān)”

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(2)設(shè),若,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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