Question

【題目】數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)．

（1）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和分別為．若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】（1）為等比數(shù)列．見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）設(shè)的公比為，的公比為，根據(jù)進(jìn)而可得，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而可證明為等比數(shù)列；

（2）根據(jù)數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出和，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算得出和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可證明數(shù)列，為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得和，代入，可求得，和，代入，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解：（1）由題可知，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，

設(shè)的公比為的公比為，

則，

故為等比數(shù)列.

（2）由于，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，

設(shè)的公比為的公比為，

則，

所以，

，

則數(shù)列和分別是公差為和的等差數(shù)列，

由于的前n項(xiàng)和分別為，

則，，

而，

則，即，

即，

于是，①

將代入①式，解方程組，得，

所以，，

從而有.