Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，O分別為PA，AC的中點，AC=16，PA=PC=10．
（1）求BP與平面BOE所成角的正弦值；
（2）若G是OC的中點，在棱PB上是否存在點F，使得GF∥平面BOE，若存在，求PF：FB；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先根據(jù)面面的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線垂直，然后建立直角坐標(biāo)系，利用法向量求出線面的夾角的正弦值．
（2）先假設(shè)存在然后進(jìn)行證明，利用相面的平行關(guān)系，建立向量與法向量之間的聯(lián)系，最終求出結(jié)果．

解答： 解：（1）連結(jié)PO，
因為：PA=PC，O是AC的中點，
∴PO⊥AC
由平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PO⊥平面ABC，
PO⊥OB，PO⊥OC
△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，O是AC的中點
∴BO⊥AC
分別以O(shè)B，OC，OP所在的直線建立x軸y軸和z軸
進(jìn)一步求得：A（0，-8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3）
設(shè)平面OBE得法向量為：

n

=(x，y，z)
則：

n • OB =0 n • OE =0

令y=3則z=4
所以：

n

=(0，3，4)
設(shè)BP與平面BOE所成的角為θ
sinθ=|

BP • n

| BP || n |

|=

12

25

（2）假設(shè)在棱PB上是否存在點F，使得GF∥平面BOE，進(jìn)一步

BF

=λ

BP

(0≤λ≤1)
G（0，4，0），

GF

=

GO

+

OB

+

BF

=（8-8λ，-4，6λ）
由于GF∥平面BOE，
所以

GF

•

n

=3×(-4)+4×6λ=0
解得：λ=

1

2

所以

PF

FB

=1

點評：本題考查的知識點：面面垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化和線線垂直之間的轉(zhuǎn)化，法向量的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系的建立，線面的夾角的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用，存在性問題的確定．