Question

10．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明：xf（x）≥0；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$x²+1的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)x≥0時(shí)，x≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；
（2）求出函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0）=0，討論當(dāng)a≤0時(shí)，由x≥0時(shí)，x≤0，根據(jù)單調(diào)性，即可判斷；再討論a=1，0＜a＜1，a＞1，判斷單調(diào)性，可得存在f（x）＜0的情況，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）證明：函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$x²+1，
f′（x）=x•e^x-x=x（e^x-1），
當(dāng)x≥0時(shí)，e^x≥1，即有f′（x）≥0，f（x）遞增，f（x）≥f（0）=0，
當(dāng)x≤0時(shí)，e^x≤1，即有f′（x）≥0，f（x）遞增，f（x）≤f（0）=0，
則xf（x）≥0成立；
（2）函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}a{x^2}$+1，
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x•e^x-ax=x（e^x-a），
由于f（0）=0，
當(dāng)a≤0時(shí)，e^x-a＞0，
若x≥0，則f′（x）≥0，f（x）遞增，f（x）≥f（0）=0，
若x＜0，則f′（x）＜0，f（x）遞減，f（x）＞f（0）=0，
則a≤0時(shí)，滿足f（x）≥0；
當(dāng)a＞0時(shí)，a=1時(shí)，若x≥0，則f′（x）≥0，f（x）遞增，f（x）≥f（0）=0，
若x＜0，則f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）＜f（0）=0；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，若x≥0，則f′（x）≥0，f（x）遞增，f（x）≥f（0）=0，
若x＜0，則f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）＜f（0）=0；
a＞1時(shí)，x＜0，或x＞lna，f′（x）＞0，f（x）遞增，存在f（x）＜f（0）=0，
綜上可得，a＞0不成立，a≤0時(shí)，f（x）≥0恒成立．
則a的取值范圍為（-∞，0]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．