Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PC⊥平面ABCD，PC=4，AB=6，BD=3

3

，∠DAB=60°．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E，F(xiàn)，G分別是線段BC，DC，PC上的動點，且EF=2，試探究多面體PDBGFE的體積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明DB⊥BC，PC⊥BD，即可證明BD⊥平面PBC；
（Ⅱ）當(dāng)V_G-ECF存在最大值時，多面體PDBGFE的體積最小．

解答： （Ⅰ）證明：△BCD中，CD=AB=6，BD=3

3

，∠DCB=∠DAB=60°，
由正弦定理可得

3 3

sin60°

=

6

sin∠CBD

，
∴sin∠CBD=1，
∴∠CBD=90°，
∴DB⊥BC，
∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PC⊥BD，
∵BC∩PC=C，
∴BD⊥平面PBC；
（Ⅱ）解：V_PDBGFE=V_P-BCD-V_G-ECF，
當(dāng)V_G-ECF存在最大值時，多面體PDBGFE的體積最�。�
∵PC⊥平面ABCD，
∴V_G-ECF=

1

3

S_△ECF•GC．
當(dāng)G運動到P時，PC=4．
設(shè)CE=a，CF=b，則
∵EF=2，
∴由余弦定理得a²+b²-ab=4，
∴4+ab=a²+b²≥2ab，
∴ab≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立）．
∴S_△ECF=

1

2

CE•CF•sin∠DCB=

3

4

ab≤

3

，
∴a=b=2時，（S_△ECF）_max=

3

，
∴（V_G-ECF）_max=

1

3

•

3

•4=

4 3

3

．
∵V_P-BCD=

1

3

•

9 3

2

•4=6

3

，
∴多面體PDBGFE的體積的最小值為

14 3

3

．

點評：本題考查線面垂直的證明，考查多面體體積是計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．