Question

5．如圖，已知在多面體ABCDEF中，ABCD為正方形，EF∥平面ABCD，M為FC的中點，AB=2，EF到平面ABCD的距離為2，F(xiàn)C=2．
（1）證明：AF∥平面MBD；
（2）若EF=1，求V_F-MBE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明AF∥平面MBD；
（2）若EF=1，證明EF⊥平面FBC即EF是三棱錐的高，結(jié)合三棱錐的體積公式即可求V_F-MBE．

解答 解：（1）證明：連接AC，設(shè)AC與BD交于O點，在正方形ABCD中，O為AC的中點．
∵M是FC的中點，
∴OM∥AF，
∵AF?平面MBD，OM?平面MBD，
∴AF∥平面MBD．
（2）∵EF∥平面ABCD，F(xiàn)C=2，EF到平面ABCD的距離為2，
∴FC⊥平面ABCD，平面FBC⊥平面ABCD，
∵四邊形ABCD為正方形，則AB⊥平面FBC，
∵EF∥平面ABCD，
∴EF∥AB，∴EF⊥平面FBC．
${V_{F-MNE}}={V_{E-FNM}}=\frac{1}{3}EF•{S_{△FNM}}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×2×2=\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及三棱錐體積的計算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及三棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．