Question

已知an=

1+22+33+…+nn

(n+1)n

，用數(shù)學(xué)歸納法證明：n∈N^*時(shí)，a_n＜1．

Answer 1

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，n=1時(shí)驗(yàn)證不等式成立，假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，然后證明n=k+1時(shí)，不等式也成立．

解答：解：利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

2

＜1；
②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即ak=

1+22+33+…+kk

(k+1)k

＜1．
那么n=k+1時(shí)，ak+1=

1+22+33+…+(k+1)k+1

(k+2)k+1

＜

(k+1)k+(k+1)k+1

(k+2)k+1

=

(k+1)k

(k+2)k

＜1．
這就是說(shuō)，n=k+1時(shí)，不等式也成立．
所以an=

1+22+33+…+nn

(n+1)n

，對(duì)于n∈N^*時(shí)，a_n＜1成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列在不等式證明中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意用上假設(shè)是證明問(wèn)題的關(guān)鍵．