已知函數(shù)，（＞0，，以點(diǎn)為切點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，記函數(shù)圖像與三條直線所圍成的區(qū)域面積為。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求證：＜；

（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：＜.

解：（Ⅰ）易知，切點(diǎn)為，則方程為

即

∴=

（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，（≥0）

則

即函數(shù)，（≥0）單調(diào)遞減，而

∴，等號(hào)在時(shí)取得，

∴當(dāng)＞0時(shí)，＜成立

∴知＜

∴=＜

（Ⅲ）＜＜

∴當(dāng)時(shí)，=＜；

當(dāng)時(shí)，＜

＜

方法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同方法一；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知＜，

   （）

又,   ,

∴綜上所述：對(duì)一切，都有＜。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
（n∈N+），則函數(shù)y=sin3x在[0，
2π
3
]上的面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)，f(x)=
0(x＞0)
-π(x=0)
x
2
3
+1(x＜0)
，則復(fù)合函數(shù)f{f[f（-1）]}=（　　）
A、x2+1
B、π2+1
C、-π
D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=2cosx（0≤x≤2π）的圖象和直線y=2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則其面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積．已知函數(shù)y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
(n∈N*)，則函數(shù)y=cos3x在[0，
5π
6
]上的面積為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=a，y=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
，則（1）函數(shù)y=sin3x在[0，
2π
3
]上的面積為
4
3
4
3
，（2）函數(shù)y=sin（3x-π）在[
π
3
，
4π
3
]上的面積為
π+
2
3
π+
2
3
．

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