已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓與曲線的交點(diǎn)為、，求面積的最大值.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的短軸長(zhǎng)，可以求出，再根據(jù)離心率及，從而能夠求出；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，從而寫(xiě)出的方程，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性能夠表示出的面積，聯(lián)立直線與橢圓，求出代入到的面積，進(jìn)一步表示出面積，根據(jù)均值不等式能夠求出面積的最大值.
試題解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，∴
又橢圓離心率，∴，
所以橢圓的方程為
（2）設(shè)點(diǎn)，則，連交軸于點(diǎn)，
由對(duì)稱性知：
由    得：
，
（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）

面積的最大值為.
考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為1，最小值為-2.
（I）求橢圓的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)作不與軸垂直的直線交該橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)。試判斷的大小是否為定值，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．
分別過(guò)，的兩條弦，相交于點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過(guò)三點(diǎn)作圓  
（Ⅰ）若線段是圓的直徑，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若圓的圓心在直線上，求橢圓的方程;
（Ⅲ）若直線交（Ⅱ）中橢圓于，交軸于，求的最大值  

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線（其中為整數(shù)）.
（1）試求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

曲線C上任一點(diǎn)到定點(diǎn)(0，)的距離等于它到定直線的距離.
(1)求曲線C的方程；
(2)經(jīng)過(guò)P(1,2)作兩條不與坐標(biāo)軸垂直的直線分別交曲線C于A、B兩點(diǎn)，且⊥，設(shè)M是AB中點(diǎn)，問(wèn)是否存在一定點(diǎn)和一定直線，使得M到這個(gè)定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等.若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)和這條定直線的方程.若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，，其中．設(shè)直線與的交點(diǎn)為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程（以為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓圓動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
（2）是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)時(shí),求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：的右焦點(diǎn)在圓上，直線交橢圓于、兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)若(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的值；
(3)設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為（與不重合），且直線與軸交于點(diǎn)，試問(wèn)的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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