Question

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集為（α，β），且0＜α＜β，求不等式cx²-bx+a＞0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于不等式ax²+bx+c＞0的解集為（α，β），可得：α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a＜0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可把不等式cx²-bx+a＞0化為α•βx²+（α+β）x+1＜0，由0＜α＜β，可得-

1

α

＜-

1

β

即可解出．

解答： 解：∵不等式ax²+bx+c＞0的解集為（α，β），
∴α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a＜0．
∴α+β=-

b

a

，α•β=

c

a

．
∴不等式cx²-bx+a＞0化為

c

a

x2-

b

a

x+1＜0，
∴α•βx²+（α+β）x+1＜0，
化為（αx+1）（βx+1）＜0，
∵0＜α＜β，∴-

1

α

＜-

1

β

．
∴-

1

α

＜x＜-

1

β

．
∴不等式cx²-bx+a＞0的解集為{x|-

1

α

＜x＜-

1

β

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．