Question

5．已知命題p：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+（5-a²）x+a在R上的增函數(shù)；命題q：函數(shù)g（x）=$\frac{e^x}{x}$在[a，+∞）上單調遞增，若“p∨（￢q）”為真命題，“（￢p）∨q”也為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 若“p∨（￢q）”為真命題，“（￢p）∨q”也為真命題，則p為真命題，則q也為真命題；若p為假命題，則q也為假命題，進而可得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）若p為真命題，
則f′（x）=x²-2x+5-a²≥0恒成立，
則△=4-4（5-a²）≤0，
解得：-2≤a≤2．
g′（x）=$\frac{{（x-1）{e^x}}}{x^2}$，故g（x）=$\frac{e^x}{x}$在[1，+∞）上遞增，
若q為真命題，
則a≥1．
由已知可得若p為真命題，則q也為真命題；
若p為假命題，則q也為假命題，
當p，q同真時，1≤a≤2；
同假時，a＜-2，
故a∈（-∞，-2）∪[1，2]．（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等知識點，難度中檔．