Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的最大值；

（Ⅱ）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）0（Ⅱ）（Ⅲ）當時，不等式等價于．ln>令，設，則′(t)=>0

在上單調遞增，

【解析】

試題分析：（Ⅰ），則．

當時，，則在上單調遞增；

當時，，則在上單調遞減，

所以，在處取得最大值，且最大值為0．                       4分

（Ⅱ）由條件得在上恒成立．

設，則．

當 x∈(0,e)時，；當時，，所以，．

要使恒成立，必須．

另一方面，當時，，要使恒成立，必須．

所以，滿足條件的的取值范圍是．                          8分

（Ⅲ）當時，不等式等價于．ln>

令，設，則′(t)=>0，

在上單調遞增，，

所以，原不等式成立．                                    12分

考點：函數(shù)單調性與最值

點評：第一問通過函數(shù)導數(shù)求得單調區(qū)間極值進而得到最值，第二問中不等式恒成立求參數(shù)范圍的題目常采用分離參數(shù)法，轉化為求函數(shù)最值問題，第三問證明不等式要構造函數(shù)通過求解函數(shù)最值證明不等式，有一定的難度